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文系の俺に集合の証明を教えてくれ (24)

1 132人目の素数さん
2017/05/01(月) 13:57:02.85 ID:2R1M1qJO

Aが有限数の要素を持つ集合であれば、Aの要素数で定義される基数をn(A)とする。AとBが任意の有限集合である場合は、次のことを証明せよ

(1) n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

(2) n(A\B)=n(A)-n(A∩B)

まじで助けてくれ

文系の俺に集合の証明を教えてくれ



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2 132人目の素数さん
2017/05/01(月) 22:33:18.74 ID:ujR/6P2x

いくら払える?

3 132人目の素数さん
2017/05/01(月) 23:03:35.13 ID:Y9gMg+6z

n( ) については、式に登場する集合の個数が
少なければ、便図を書いて考えるのが簡単。
以下の話を、自分で便図を書きながら聞いて欲しい。

n( ) を数式的に処理するには、
共通部分がない集合については加法的、つまり
集合XとYが重ならない ⇒ n(X∪Y)=n(X)+n(Y)
であることを使う。特に、便図上
内部が分割されてないような領域で表される
集合どうしの要素数は、単純に足し算できる。

それを使って、
n(A∪B)=n(A\B)+n(B\A)+n(A∩B) …[1],
n(A)=n(A\B)+n(A∩B) …[2],
n(B)=n(B\A)+n(A∩B) …[3] と書ける。
A\B は、A∩(not B) を表す記号。
A\B と B\A が便図上のどこになるか、
是非、塗り絵をして確認を。

[2]を変形して、(2)になる。
n(A\B)=n(A)-n(A∩B).
[3]も同じように
n(B\A)=n(B)-n(A∩B).
このふたつを[1]へ代入して
n(A\B)とn(B\A)を消せば、(1)になる。
n(A∪B)=n(A\B)+n(B\A)+n(A∩B)
=[n(A)-n(A∩B)]+[n(B)-n(A∩B)]+n(A∩B)
=n(A)+n(B)-n(A∩B).

4 132人目の素数さん
2017/05/01(月) 23:21:43.73 ID:Y9gMg+6z

それっぽい絵を見つけた↓2集合の便図。
http://joyplot.com/documents/wp-content/uploads/2017/01/ben-1.png

a と書かれた領域が A\B,
b と書かれた領域が B\A,
c と書かれた領域が A∩B.
この3つを組み合わせて、
a+c の領域が A,
b+c の領域が B,
a+b+c の領域が A∪B.

重なり合わない領域どうしの n( ) は
n(X∪Y)=n(X)+n(Y) の意味で足せる
ことを思い出しつつ、
>3 の計算を追ってみよう。

5 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 10:19:03.65 ID:D6gPzTPT

>3-4
基数って言葉使ってる時点で大学の集合論での証明が必要って気づけよ
そんな高校生みたいな塗り絵の説明されなくたって誰だって分かるわ

6 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 11:03:19.28 ID:/ULIDebZ

>1は公理的なスタイルで厳密に証明したいんだろうけど、たぶん出題者は
そんなこと求めてなくて、>3,>4程度でいいと思ってるんじゃないかな。

本当に公理的にやろうとすると、無駄に形式的かつ機械的な議論ばかりが続き、
しかもそこでやろうとしていることは>3,>4と全く同じっていう状況になって
疲労感だけが残る。

7 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 11:14:46.98 ID:TbYiu5yX

>5-6
厳密にやるとしても具体的に全単射を構成するだけだぞ
どんな全単射を構成すればよいかは図で見た通りでしかない

8 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 11:45:13.03 ID:/ULIDebZ

>7
厳密性を追求するなら、それだけでは全くダメだよ。

>1にはしれっと「有限数の要素を持つ集合」と書いてあるが、
まず有限集合とは何かという定義が必要。

もちろん、ある非負整数nが存在して、[0,n)からAへの全単射が存在するときに
「有限集合」と呼ぶわけだ(別の流儀もあるが、ここでは使わない)。
そして、このnのことを、>1ではn(A)と書いているわけだ。

しかし、このときのnすなわちn(A)がAごとに「一意的に決まること」をまず証明しなければならない。
これが自明に見えて意外と面倒くさい。これを示すには、n<mのときに[0,n)から[0,m)への全単射が
存在しないことを言えばいいのだが、まさにそれが面倒くさい。直観的には、[0,n)よりも[0,m)の方が
要素の個数が多いのだから、全単射が存在しないのは明らかに見えるが、今まさに「個数」に相当する概念の
一意性を証明しようとしているのだから、「個数」の直観に基づいたあやふやな議論は排除しなければならない。
そんなこと言ったって、[0,m)側はいくつかの要素が明らかに余るだろうと思うだろうが、要素が余るという性質を
いかにして n<m という不等式から導くかがポイントになるのであり、やはり全く自明ではないのだ。
で、これが証明できたとして、まだ面倒くさいのが残っていて、それは次の定理だ。

定理:Aが有限集合でB⊂Aならば、Bも有限集合である。

これは、「有限集合」の定義の仕方によって証明の面倒くささが変わる。
今回の定義の仕方だと、面倒くさい部類になる。ここまで証明できて初めて
>1のスタートラインに立てて、そのあとは>3,>4と大差ない議論になる。

9 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 11:54:32.23 ID:TbYiu5yX

>8
それはどこまでを既知とするかの話でしかない
まさか全ての質問の回答でZFの無限公理まで遡りたいわけではなかろう

10 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 12:17:40.11 ID:/ULIDebZ

>9
>それはどこまでを既知とするかの話でしかない
>まさか全ての質問の回答でZFの無限公理まで遡りたいわけではなかろう

俺の>6もまさしくそういう意味のレスなんだけどな。

11 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 13:46:10.08 ID:cQRys/7o

ベン図の各領域を集合と定義する方法しか知らんな

12 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 13:48:15.18 ID:T2hDPwqg

スレタイ文系だけど?

13 132人目の素数さん
2017/05/05(金) 10:59:15.14 ID:V1N7CjGX

大学の期末レベルの回答で良いなら帰納法でなんとかなる

14 ¥
2017/05/09(火) 05:40:06.06 ID:fFup5tOX



15 ¥
2017/05/09(火) 05:40:25.99 ID:fFup5tOX



16 ¥
2017/05/09(火) 05:40:28.51 ID:fFup5tOX



17 ¥
2017/05/09(火) 05:40:50.39 ID:fFup5tOX



18 ¥
2017/05/09(火) 05:41:14.62 ID:fFup5tOX



19 ¥
2017/05/09(火) 05:41:37.31 ID:fFup5tOX



20 ¥
2017/05/09(火) 05:42:01.56 ID:fFup5tOX



21 ¥
2017/05/09(火) 05:42:25.84 ID:fFup5tOX



22 ¥
2017/05/09(火) 05:42:45.96 ID:fFup5tOX



23 ¥
2017/05/09(火) 05:43:05.23 ID:fFup5tOX



24 132人目の素数さん
2017/07/21(金) 22:46:00.23 ID:TROq1Jv/

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2286: ひまなニートだけど全レスする (32)
2892: アンパンの上に乗ってるゴマwww (32)
2559: 俺「コンコン・・・」 面接官「はいどうぞー(こいつ2回はトイレノックなの知らないのかダメだな)」 (32)
2306: 昨日メスイキしたのに今日もしたくて仕方ない (32)
2273: 自営業でそこらのリーマンより稼いでるけど退職金がないってやばくね? (32)
2799: 平尾受刑者だけど質問ある? (32)
2770: 婆ちゃん難病指定w (32)
1148: 【IMF】日銀、国債買い入れ量の説明に改善余地=古沢IMF副専務理事 (31)
3010: 【乞食速報】ドチャクソうまいチョコレート達がamazonで50%オフ!うおおおおおおおお!いそげ!! [703385583] (167)
1183: 【受刑者逃走】「島にいる確証持てない」 発生から2週間…警察焦り ★4 (163)
1012: 【野球】<イチロー>複数安打!(第1打席は一塁内野安打、第2打席は二塁内野安打) 第3、4打席は四球 (153)
2310: いい感じの異性が元セフレと会ってセックスしてないって言われて信用出来る? (145)
2528: 好きな子に告白したら振られたんだが、ショックで立ち直れない (143)
2987: 4番DH大谷翔平 (142)
996: 【グラドル】“リアル峰不二子”小倉優香、Gカップの谷間くっきり妖艶オーラ (141)
1006: 今期アニメ総合スレ 1494 (134)
1007: 【バーチャルライバー】にじさんじ総合スレ Part195 (129)
1017: 【モンスト】モンスターストライク総合2767【糞運営】 (909) (129)
1182: 【日米首脳会談】「困難を乗り越えて。あなたならできる」 メラニア大統領夫人、昭恵首相夫人を励ます (127)
1186: 【米朝首脳会談】正恩氏「自分の度胸と合う」 2泊3日米ポンペオCIA長官を自ら歓待 現在もCIA関係者が北朝鮮で調整 (123)
1160: 【兵庫】神戸・中3女子自殺 「破棄されていた」はずの聞き取りメモ見つかる 市教委が発表 (120)
2787: ラーメンのレベルが一番高い都道府県ってどこ? あと千葉県は全国何位くらいでつか? [484736814] (118)
2677: オタク女と付き合いたい訳じゃないけど一般人には絶対引かれるヲタクだから他に選択肢が無い件 (117)
1018: 【名探偵コナン】江戸川コナン=工藤新一&信者アンチ53 (114)
1164: 【企業】大韓航空 創業家の姉妹 全役職を辞任へ 長女は「ナッツ・リターン」次女は会議中に出席者へ飲み物を顔にぶちまけ (109)
1010: メジャーリーグで活躍した大魔王こと佐々木主浩さん、引退後馬主になり20億の賞金を稼いでいた (107)
1170: 【大分】「初めて見た」1メートル超!巨大ワラビに驚き 住民が見つける「これは食べないで記念にとっておきます」 日田 (104)
2369: 【コテ】史上初!寝ながら全レス! (101)
1181: 【札幌】全身グレーの男が路上で突然、女性の髪を掴み自分の下半身に押し付けようとする強制性交等未遂事件が発生 (95)
2801: 勉強しても稼げなきゃ意味ないよな (94)
10: 地震 (93)
1151: 【ゲーセン】キッズユーチューバー、ゲーセンを動かす イオンファンタジー、利益6割増の理由 (90)
1011: 【サッカー】<日本サッカー協会の田嶋会長>ハリル氏へ「契約書にあることをしっかり履行することが誠意ある対応」 (89)
2301: 人生観変わる体験ってなんかある? (88)
1054: 田島芽瑠「推し変って一瞬なのかな…悲しいなぁ。寂しいなぁ。何がダメだったのかなぁ」 (87)
1008: 秋葉原でS2000とJPN TAXIの全損事故。駆けつけたパトカーに酔っ払いが乗り込みクラクション乱打w (84)
1013: 【PSO2】エキスパート条件を厳しくしろ (82)
1010: 【賛否】生駒里奈卒業コンサート感想スレ【両論?】 (82)
2720: 正直な話漫画が売れないのってamazonのせいじゃね? (81)
1155: 【犬】ゼッタイにイヤ!!動くの断固拒否な二匹の柴犬たちがブチャ可愛い! (79)
2272: 女ってなんであんなに浮気するん? (79)
1007: 【テレビ】「いいとも」で人気外国人タレントが展開中の事業内容を公開!塩、ザクロ、バラで1日5000万円 (79)
2721: 足を細くしたいんだけど何かない? (78)
2264: ニートだけどネット友達が欲しいんだが (78)
12: 【汚名挽回】 安倍首相決意、北朝鮮拉致問題解決は「私が司令塔」 (78)
1014: 【アッキード/森友】国有地売却問題 認可巡り、百条委設置要望 共産府議団/大阪◆1★1559 (76)
1256: 【日経新聞】 プレステ 世界的に品薄状態 【日本経済新聞ソース】 (76)
2466: パチ屋バイト1日しかいってないんだけどバックれてもいい? (74)
1150: 【東京入国管理局】入管が症状放置隠しで虚偽記載か トルコ男性を1カ月受診させず (72)
2726: おまえらの好きな小説おしえれ (72)
997: 【芸能】のん(元・能年玲奈)ブログに殺害予告 47歳アルバイト男を逮捕★2 (72)
1008: 【かっさん】加藤純一ID無しスレpart1726【まんもっさん】 (71)
2928: 【悲報】ネトウヨyoutuber、松本人志が「在日議員に日本を任せたらアカン」と発言したと捏造してしまう これもうライン超えてるだろ [521242681] (71)
1189: 【社会】LGBT差別禁止 首都圏に広がる 自治体、条例など明文化 (70)
1175: 【有機ELのスマホ】 販売伸び悩み示す予測 高価格がネックか (70)
1174: 【健康】梅毒 患者増加 妊娠の有無報告へ (69)
1004: 【映画】『ニセコイ』中島健人・中条あやみで実写映画化 “脱”王子&清純を宣言 (69)




 

文系の俺に集合の証明を教えてくれ (24)

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2272: 女ってなんであんなに浮気するん? (79)
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12: 【汚名挽回】 安倍首相決意、北朝鮮拉致問題解決は「私が司令塔」 (78)
1014: 【アッキード/森友】国有地売却問題 認可巡り、百条委設置要望 共産府議団/大阪◆1★1559 (76)
1256: 【日経新聞】 プレステ 世界的に品薄状態 【日本経済新聞ソース】 (76)
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1174: 【健康】梅毒 患者増加 妊娠の有無報告へ (69)
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2336: うさ耳淫魔 (68)
3015: 実写版ニセコイ、ヒロインの桐崎千棘役は中条あやみさん(21)に決定 [443234152] (67)
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2812: 無職32歳ワシ、将来が怖くなり公園まで走ってきた (67)
1011: プレカット普及⇒大工の腕低下・仕事減⇒工具メーカ衰退⇒工具不足\(^o^)/ (65)
2355: 一緒にカフェにも行くし、週3で一緒にジム通ってるし、さっきも2時間2人で知らない道散歩してきたくらいの仲の好きな女の子がいるんだが (65)
1013: 【MM】メタルマックス総合スレ 戦車264台目【MS】 (62)
2260: 【朗報】ママの生理が上がったかも (62)
1165: 【北海道】高倉健さんの映画舞台の廃止駅旧増毛駅、観光拠点に再生 北海道・増毛町 (62)
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2955: 豚肉で唐揚げ作ったらメチャクチャ美味かったんだけど (60)
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2771: 姉貴に置き去りにされた甥っ子を近所の公園に連れてったら一心不乱に汚いどんぐり拾ってた (59)
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2536: あと数時間後に台湾に旅立つのだが (53)
2541: 戦国時代に興味あるんだけどおすすめの本とか教えてくれ何ならゲームとかでもいい (53)
1010: 早稲田文学部教授が就職悪いのを認めている (53)
2615: ガチでアニメの世界に行きたいんだが。行く方法教えやがれ [442782119] (53)
2921: コーヒー淹れる道具一式買ってきたから今から淹れるよ (52)
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2265: AV詳しい方このgifの詳細を教えてください (51)
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1010: 【芸能】<広瀬アリス>広瀬アリスが“クズ芸人”に「死ぬほどバイトしろ!」とガチ切れ “男気”を見せた (49)
2431: PUBGとか荒野行動やってるやつっているの? (48)
2583: 性格変える方法求む (48)
2777: セックスしたいけどラブホ代すら払いたくない デート費用とか舐めてんの? [992063448] (48)
2971: 安倍政権がいよいよ終焉に近づいて来てる件 10終 (47)
2977: なんで私は構ってもらえないの? (46)
2356: youtubeの気に入らないコメしてるやつを全て殺したくなる現象 (46)
1006: ■ドラゴンクエストモンスターパレード  1213つまみ (46)
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2517: 歌や楽器がすごく上手い←儲からない 絵がすごく上手い←儲からない 工場で単純作業←年300万貰える (45)
2800: 身長努力で伸ばしたやつ来てよ (44)
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1015: 【サッカー】<日本代表「ハリルホジッチ解任」の吉凶>人間関係はギスギスの極みで最悪。采配も稚拙な愚将、クビで正解か? (42)
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2360: 国保料払わずに半年過ぎた (40)
2322: 俺、家を出てマックで夜を明かす生活が1ヶ月を越える (40)
1163: 【静岡】ゴルフ場の橋から転落 横浜の80代男性死亡 静岡の稲取ゴルフクラブ (39)
3002: 中西いい加減にしろwww (38)
2293: (´-ω・`)まだ起きてる…? (38)
1176: 【仏大統領渡米】仏マクロン大統領が訪米へ トランプ大統領の初の国賓 (38)
1012: 軽トラでワッフルハウスに来た半裸の男、銃乱射 (38)
2747: 自殺失敗して仕方なく働き始めた元ニートだけど給料入ったら親になにか買いたいと思う (37)
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1016: ストーリー性がないssってほんとゴミでしかないこと気づいてほしい (37)
2950: 【悲報】森戸ちぃちゃんに公開処刑される譜久村カバちゃんw (36)
1051: 一言余計なNGT48角ゆりあ「だってもえちゃんのこと"は"嫌いになれない」 (36)
2668: ぼく「FF14楽しい」ゆとり「適当にやってると怒られる!ギスギスマルチ!」←これ (36)
2861: 死ぬので最後のスレ立て (36)
2291: 3DCGでガチで女の子を作った (36)
2576: 可愛いヒロイン教えてくれ (36)
2723:   マ  ジ  で  ア  ニ  メ  見  な  く  な  っ  た  奴 (35)
2412: バカ「日本のお笑いは世界一ィ!」俺「へえじゃあマスク少林サッカー、これらを越える日本のコメディ映画ある?」 (35)
2949: 声優の神谷浩史がライブ中にファンにブチギレたらしい (35)
1250: ゴキちゃん…PSWのの日本撤退が濃厚だけど呑気にダンボール叩いてていいの…? (34)
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