89: 文系の俺に集合の証明を教えてくれ (24)
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文系の俺に集合の証明を教えてくれ (24)

【pc】
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1 132人目の素数さん
2017/05/01(月) 13:57:02.85 ID:2R1M1qJO

Aが有限数の要素を持つ集合であれば、Aの要素数で定義される基数をn(A)とする。AとBが任意の有限集合である場合は、次のことを証明せよ

(1) n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

(2) n(A\B)=n(A)-n(A∩B)

まじで助けてくれ

文系の俺に集合の証明を教えてくれ



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2 132人目の素数さん
2017/05/01(月) 22:33:18.74 ID:ujR/6P2x

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3 132人目の素数さん
2017/05/01(月) 23:03:35.13 ID:Y9gMg+6z

n( ) については、式に登場する集合の個数が
少なければ、便図を書いて考えるのが簡単。
以下の話を、自分で便図を書きながら聞いて欲しい。

n( ) を数式的に処理するには、
共通部分がない集合については加法的、つまり
集合XとYが重ならない ⇒ n(X∪Y)=n(X)+n(Y)
であることを使う。特に、便図上
内部が分割されてないような領域で表される
集合どうしの要素数は、単純に足し算できる。

それを使って、
n(A∪B)=n(A\B)+n(B\A)+n(A∩B) …[1],
n(A)=n(A\B)+n(A∩B) …[2],
n(B)=n(B\A)+n(A∩B) …[3] と書ける。
A\B は、A∩(not B) を表す記号。
A\B と B\A が便図上のどこになるか、
是非、塗り絵をして確認を。

[2]を変形して、(2)になる。
n(A\B)=n(A)-n(A∩B).
[3]も同じように
n(B\A)=n(B)-n(A∩B).
このふたつを[1]へ代入して
n(A\B)とn(B\A)を消せば、(1)になる。
n(A∪B)=n(A\B)+n(B\A)+n(A∩B)
=[n(A)-n(A∩B)]+[n(B)-n(A∩B)]+n(A∩B)
=n(A)+n(B)-n(A∩B).

4 132人目の素数さん
2017/05/01(月) 23:21:43.73 ID:Y9gMg+6z

それっぽい絵を見つけた↓2集合の便図。
http://joyplot.com/documents/wp-content/uploads/2017/01/ben-1.png

a と書かれた領域が A\B,
b と書かれた領域が B\A,
c と書かれた領域が A∩B.
この3つを組み合わせて、
a+c の領域が A,
b+c の領域が B,
a+b+c の領域が A∪B.

重なり合わない領域どうしの n( ) は
n(X∪Y)=n(X)+n(Y) の意味で足せる
ことを思い出しつつ、
3 の計算を追ってみよう。

5 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 10:19:03.65 ID:D6gPzTPT

3-4
基数って言葉使ってる時点で大学の集合論での証明が必要って気づけよ
そんな高校生みたいな塗り絵の説明されなくたって誰だって分かるわ

6 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 11:03:19.28 ID:/ULIDebZ

1は公理的なスタイルで厳密に証明したいんだろうけど、たぶん出題者は
そんなこと求めてなくて、3,4程度でいいと思ってるんじゃないかな。

本当に公理的にやろうとすると、無駄に形式的かつ機械的な議論ばかりが続き、
しかもそこでやろうとしていることは3,4と全く同じっていう状況になって
疲労感だけが残る。

7 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 11:14:46.98 ID:TbYiu5yX

5-6
厳密にやるとしても具体的に全単射を構成するだけだぞ
どんな全単射を構成すればよいかは図で見た通りでしかない

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8 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 11:45:13.03 ID:/ULIDebZ

7
厳密性を追求するなら、それだけでは全くダメだよ。

1にはしれっと「有限数の要素を持つ集合」と書いてあるが、
まず有限集合とは何かという定義が必要。

もちろん、ある非負整数nが存在して、[0,n)からAへの全単射が存在するときに
「有限集合」と呼ぶわけだ(別の流儀もあるが、ここでは使わない)。
そして、このnのことを、1ではn(A)と書いているわけだ。

しかし、このときのnすなわちn(A)がAごとに「一意的に決まること」をまず証明しなければならない。
これが自明に見えて意外と面倒くさい。これを示すには、n<mのときに[0,n)から[0,m)への全単射が
存在しないことを言えばいいのだが、まさにそれが面倒くさい。直観的には、[0,n)よりも[0,m)の方が
要素の個数が多いのだから、全単射が存在しないのは明らかに見えるが、今まさに「個数」に相当する概念の
一意性を証明しようとしているのだから、「個数」の直観に基づいたあやふやな議論は排除しなければならない。
そんなこと言ったって、[0,m)側はいくつかの要素が明らかに余るだろうと思うだろうが、要素が余るという性質を
いかにして n<m という不等式から導くかがポイントになるのであり、やはり全く自明ではないのだ。
で、これが証明できたとして、まだ面倒くさいのが残っていて、それは次の定理だ。

定理:Aが有限集合でB⊂Aならば、Bも有限集合である。

これは、「有限集合」の定義の仕方によって証明の面倒くささが変わる。
今回の定義の仕方だと、面倒くさい部類になる。ここまで証明できて初めて
1のスタートラインに立てて、そのあとは3,4と大差ない議論になる。

9 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 11:54:32.23 ID:TbYiu5yX

8
それはどこまでを既知とするかの話でしかない
まさか全ての質問の回答でZFの無限公理まで遡りたいわけではなかろう

10 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 12:17:40.11 ID:/ULIDebZ

9
>それはどこまでを既知とするかの話でしかない
>まさか全ての質問の回答でZFの無限公理まで遡りたいわけではなかろう

俺の6もまさしくそういう意味のレスなんだけどな。

11 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 13:46:10.08 ID:cQRys/7o

ベン図の各領域を集合と定義する方法しか知らんな

12 132人目の素数さん
2017/05/02(火) 13:48:15.18 ID:T2hDPwqg

スレタイ文系だけど?

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